DGhK Berlin-Brandenburg

Buchbesprechung: Mathematik-Bücher für die 3. Klasse

Von Stefan Hinz, September 2009

1. Yvonne Kopf: Mathematik für hochbegabte Kinder
   Vertiefende Aufgaben für die 3. Klasse
   1. Auflage 2009, ISBN 978-3-87101-435-2
   54 Seiten als Kopiervorlage
   Brigg Pädagogik Verlag, Augsburg
   18,80 €
2. Samuel Zwingli: Denksportaufgaben für helle Köpfe
   ab Klasse 3
   56 Seiten im Ringbucheinband, ISBN 978-3-87101-313-3
   Brigg Pädagogik Verlag, Augsburg
   16,80 €

Heute hatte ich zwei Rezensionsexemplare vom Brigg Pädagogik Verlag im Briefkasten: zwei Hefte im Format DIN A4, beide über Mathematik in der 3. Klasse. Mathematik – war das nicht etwas, was mich schon seit frühester Kindheit interessiert hatte? Warum hatte ich nur lange Jahre das Interesse daran verloren? Ach ja, weil es das Schulfach war, das quasi per Definition so ziemlich das Gegenteil von Spaß bedeutete. Aber Zahlen und all das, was damit verbunden ist, hatte mir als Kind doch Spaß gemacht. Warum also war ich zum Mathe-Hasser geworden?

Wenn ich mir den Apfel ansehe, der nicht weit vom Baum fällt, nämlich meinen ersten Sohn, stelle ich dieselbe Faszination fürs Mathematische fest wie bei mir. (Soweit ich mich erinnere, kam diese Faszination bei mir allerdings erst sehr viel später.) Mit vier Jahren verstand er, dass a = 1 ist, wenn a + 5 = 6, und jetzt mit sieben Jahren genießt er sichtlich die Erläuterung verschiedener Lösungswege für die Multiplikation von 14 mit 18. Als Vater mache ich mir da natürlich Sorgen, dass er dieselbe traurige Erfahrung des Mathe-Hassers machen muss wie ich, und ich frage mich, wie ich ihm helfen kann, das zu vermeiden.

Das Zauberwort ist natürlich Unterforderung. Es ist ein negatives Zauberwort, denn es bedeutet für unsere hochbegabten Kinder nichts anderes als Frustration. Unterforderung kann mathematische Riesen in mathematische Zwerge verzaubern (oder an Sprachen interessierte Riesen in Legastheniker, für Geschichte Begeisterte in Geschichtslose, oder musikalische Kinder in dröge Musik-Konsumenten – aber ich schweife ab, hier geht es um Mathematik). Was also tun?

Wie so oft, liegt es am Lehrer. Lehrer können die Eltern sein, sonstige Verwandte, die Schulfreunde, aber oft genug ist es schlicht der Schullehrer. Wenn er (oder sie) engagiert ist und ein Faible für Hochbegabte hat, ist das meist schon mehr als die halbe Miete. Solch eine Lehrerin ist Yvonne Kopf, die das Buch "Mathematik für hochbegabte Kinder" geschrieben hat. Schon allein das Bewusstsein darüber, dass es Kinder gibt, die man zusätzlich fördern muss, verdient in unserem egalitären Schulsystem Anerkennung. In ihrem Vorwort zum Buch sagt sie:

"Eine Hochbegabung bleibt oft unentdeckt und kann, wenn das Kind unterfordert ist, im ungünstigsten Fall entweder in Richtung Depression oder Aggression führen. Manche dieser Kinder werden durch die Unterforderung und die daraus entstehend Langeweile stark verhaltensauffällig und stören den Unterricht, andere wiederum ziehen sich in sich zurück und nehmen nicht mehr am Unterricht teil."

Wie wahr. Doch Yvonne Kopf ist auch klar, dass Akzelerierung (Beschleunigung) nicht das Wundermittel ist:

"Doch nicht in allen Fällen ist ein Überspringen der Klasse angezeigt, um dem Leistungspotential des Kindes gerechter zu werden. Das kann zum einen daran liegen, dass eine partielle Hochbegabung vorliegt, d.h. das Kind ist z.B. nur in Mathematik unterfordert, zum anderen ist es möglich, dass die psychische Entwicklung des Kindes ein Verbleiben in der Klasse erfordert."

Das Buch, das sie vorlegt, zielt folgerichtig auf das andere Mittel, um hochbegabte oder zumindest kognitiv akzelerierte Kinder zu fördern: Enrichment (Anreicherung von Lerninhalten um zusätzliche Elemente und Anreize). Womit wir nach einem langen Vorspann beim Thema des Buches wären.

Die 48 problemlos kopierbaren Seiten mit Aufgaben und Lösungen sind für Lehrer geschrieben. (Yvonne Kopf adressiert schon im Vorwort die "lieben Kolleginnen und Kollegen".) Das ist einerseits gut, denn es richtet sich an die primären Addressaten für Wissensvermittlung im (Schul-)Kindesalter, andererseits auch ein Nachteil des Buches: Die Wahrnehmung Hochbegabter kann durchaus extrem anders sein als die des Lehrers. Beispiel aus einem Schulbuch der vierten Klasse:

"Aus einem Wasserhahn tropfen pro Minute 2 Liter Wasser. Die Badewanne fasst 150 Liter Wasser. Wann ist die Badewanne voll gelaufen?"

Solch eine Aufgabenstellung kann nicht nur Begabte zur Verzweiflung treiben. Warum tropfen 2 Liter und nicht 1 Liter oder 5 Liter? Es kommt doch darauf an, wie stark der Wasserhahn leckt. Und warum fasst die Badewanne 150 Liter? Badewannen sind doch unterschiedlich groß. Und kann die Badewanne überhaupt jemals voll laufen? Dafür muss ja der Stöpsel eingesteckt sein.

Eine ähnliche Verzweiflung ergreift mich, wenn ich Aufgaben wie die folgende lese:

"Setze die Reihe fort: 4, 9, 16, ..."

Nach einiger Überlegung sowie einem Blick in den Lösungsteil des Buches stelle ich fest, dass hier die Quadratzahlen gemeint sind: 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4, usw. Ich hatte allerdings eine andere Lösung im Kopf, zwei Kinder, die ich mit der Aufgabe konfrontierte, ebenfalls: Der Abstand von 4 zu 9 ist 5, der Abstand von 9 zu 16 ist 7, dann ist der Abstand von 16 zu 25 also 9 (der Abstand vergrößert sich also immer um 2). Das stimmt genauso wie die vorgeschlagene Lösung. Aber wenn der Lehrer in die Lösung sieht und "Quadratzahl" denkt, berücksichtigt er vielleicht nicht die andere Lösung, nämlich "Differential".

Leider sind viele aus Sicht der Autorin "offensichtliche" Lösungen sind erst gar nicht im Lösungsteil des Buches aufgeführt. Wie aufgezeigt ist "offensichtlich" oftmals schlicht eine Frage der Perspektive. Die Autorin geht meines Erachtens zu oft von ihrer eigenen Sichtweise aus. Mehr explizite Lösungen wären dringend angesagt. (Der Lösungsteil ist gerade einmal vier Seiten stark.)

Das war aber auch schon die schlechte Nachricht über dieses Buch. Die gute Nachricht ist, dass es voll von unterschiedlichen Aufgaben und Fragestellungen ist, die die Perspektive hochbegabter Kinder in interessanten und detailreichen Aspekten beleuchtet und herausfordert. Man merkt dem Buch an, dass hier jemand aus Erfahrung und mit Empathie vorgegangen ist, und nicht mit irgendwelchen theoretischen Ideen im Kopf. Die Autorin ist sich auch der besonderen Problemlage vieler hochbegabter Kinder bewusst, wenn sie schreibt:

"Einige Aufgaben sind bewusst als Partneraufgaben gewählt, um die Sozialkontakte aufrechtzuerhalten."

Diese Aussage ist einfach nur wunderbar, und ich würde mir wünschen, dass solch ein Bewusstsein der Normalfall wäre statt die Ausnahme. (Wir alle können als Eltern natürlich darauf hinwirken, dass es der Normalfall wird.) Aber kommen wir mal zum Inhaltlichen, mit ein paar willkürlich heraus gegriffenen Beispielen:

• Wiederholung Kleines 1 x 1: Sage die 1 x 1-Reihen rückwärts auf!
• Multiplizieren und dividieren: Mache daraus eine richtige Aufgabe: 11 Esel fressen in 7 Tagen von insgesamt 143 Stück je 11 Karotten
• Rechne aus und stoppe die Zeit: 19 + 25 +32 = ?
• Zeichne Vierecke mit den folgenden Längen: a = 5cm, b = 3cm, c = 2cm, d = 4cm
• Schätze die Anzahl der Kästchen einer Seite deines Mathematikheftes!
• Zähle die Anzahl der Kästchen aller Kästchen deines Mathematikheftes!
• Wie viele Reiskörner sind in einer Reispackung?
• Zeichne ein Dreieck, ein Rechteck und ein Quadrat von gleicher Größe!
• Versuche, die Zauberquadrate so zu füllen, dass jede Reihe die Lösung ergibt! Zauberzahl: 33. (Es sind 4 x 4 Quadrate.)
• Informiere dich über die Devisenkurse! Wie steht aktuell der Euro zum Dollar, Yen, Pfund und Franken?
• Lass dir die folgende Aufgaben vorlesen und rechne im Kopf. Dein Partner kann die Zeit stoppen und die richtige Lösungen ankreuzen. (Beispiel: 430 + 80 = 510)

Das war eine Auswahl aus dem ersten Drittel der Seiten. Weiter geht's mit symmetrischen Figuren, Spiegelbildern, Multiplikation, Division, Rechenrätseln/Rechenregeln erklären, Teilen mit Rest, Rechnen in Tabellen, schriftlichem Addieren, millimetergenauem Zeichnen und Rechnen, Nachkommazahlen in Hülle und Fülle, Rechnen mit Geld, Wiegen, Gewichten, Zeiteinheiten (wie viele Tage vergehen noch bis Ende des Jahres – Beispiel: 23. Februar), geometrische Körper, Rauminhalt, Messen und Zeichnen, Gleichungen und Ungleichungen, etlichen Rätselseiten und Sukokus.

Wohlgemerkt, das ist alles 3. Klasse, und die Autorin ist Lehrerin an der Grundschule und der Hauptschule, also nicht in irgendwelchen elitären Schulkreisen tätig. Es ist wohltuend, dass und wie sie ihren eigenen Enthusiasmus dokumentiert, publiziert und damit anderen (Lehrern) verfügbar macht. Hut ab!

Fazit: Sorgen Sie dafür, die 18,80 € für das Buch aufzubringen und dieses "Wunderwerk" an ihren Klassen- oder Fachlehrer weiterzureichen! Selbst wenn vieles im Inhalt, wie oben beschrieben, nicht der Weisheit letzter Schluss ist, ist dieses Buch mindestens eine tolle Anregung für alle Lehrer (und, wenn Sie mich fragen, auch die Eltern), sich spannende und herausfordernde Dinge für hochbegabte und kognitiv akzelerierte Kinder auszudenken.

Nun zum anderen Buch, Denksportaufgaben für helle Köpfe von Samuel Zwingli. Im Untertitel steht ab Klasse 3. Das Buch ist bereits 2001 in einem Schweizer Verlag erschienen. Es ist also Loseblattsammlung organisiert, was das Kopieren auch mehrerer Seiten einfacher gestaltet als für Yvonne Kopfs Buch. Auch hier zunächst ein paar Hinweise zum Vorwort.

Samuel Zwingli wählt eine schöne Analogie: Kein Lehrer würde im Sportunterricht die Hochsprunglatte auf 50 cm legen, nur damit wirklich alle Kinder den Sprung schaffen, sondern mehrere Hochsprunganlagen mit verschiedenen Höhen aufbauen. Bei den größeren Höhen dürfen Kinder ruhig auch ein paarmal scheitern, bevor sie es schaffen. "Die richtige Höhe zu finden, ist (für den Lehrer) die große Kunst." Ob hochbegabt oder nicht, ist für Zwingli eine unerhebliche Frage. Die Herausforderung ist schlicht, die Kinder, die vom "üblichen" Schulstoff unterfordert sind, zu fordern und zu fördern.

Der Lösungsteil des Buchs ist perfekt. Zum einen gibt es wirklich zu jeder Aufgabe eine Lösung, zum anderen sind diese Lösungen stets Lösungsvorschläge, wie Zwingli auf der Einleitungsseite zu den Lösungen schreibt: "Kinder wollen in der Regel richtige Lösungen erarbeiten. Sie sind meistens davon überzeugt, dass ihre Lösung richtig ist. Bevor wir sagen, die Lösung sei falsch, überlegen wir, ob sie nicht doch stimmt. Wenn sie wirklich falsch ist, versuchen wir herauszufinden, wo und warum der Fehler passiert ist." Das können sich Lehrer nicht nur im Fach Mathematik hinter die Ohren schreiben!

Zwinglis Buch besteht aus 43 DIN A4-Seiten mit Aufgaben und 10 Seiten mit Lösungen. Die Aufgaben ähneln in ihrer Art denen aus Yvonne Kopfs Buch, sind aber etwas vielfältiger und haben nicht nur mit Zahlen und Geometrie zu tun, sondern mitunter auch schlicht mit Logik. Oft werden die Kindern nicht nur aufgefordert, die Aufgaben zu lösen, sondern auch zugrunde liegende Regeln herauszufinden. Gleich in der ersten Aufgabe konstruieren die Kinder Türme aus Dreiecken. Für einen einstöckigen Turm braucht man 1 Dreieck, für einen zweistöckigen 4, für einen dreistöckigen 9. Eine Tabelle, die bis zu "zehnstöckig" reicht, fordert heraus, die Regel hinter der Zunahme der Dreiecke zu erarbeiten.

Etliche Aufgaben regen darüber hinaus dazu an, über "den üblichen Rahmen" hinaus zu denken. Wie viele Dreiecke sind beispielsweise in einem Dreieck, das neun Dreiecke enthält? Vorsicht – es gibt auch größere Dreiecke!

Viele Aufgaben sind lustig formuliert, sozusagen kindlich, aber nie kindisch. Da richtet auch schon mal die Laus ein Haus für ihre Familie ein, wird aber leider vom Maikäfer verjagt, der andere Anforderungen an die Raumaufteilung im Haus der Laus hat. Oder es stellen sich verschiedene Saurierarten auf dem Sportplatz auf.

Häufig wird räumliches Vorstellungsvermögen gefordert. Es geht unter anderem um die Anzahl der Wohnungen in Flachdachhäusern (Würfeln) oder die Anzahl der Fensterscheiben in solchen Häusern, wenn sie Innenhöfe haben. Pyramiden müssen konstruiert werden (wie viele Würfel benötigt man für wie viele Stockwerke, und was ist die Regel zur Berechnung der Würfelanzahl?), und Formen werden gedreht, aber pro Reihe ist eine gespiegelte dabei, die herausgefunden werden muss. Bei einer Aufgabe mit Riemen- und Zahnrad-Getrieben geht es darum herauszufinden, in welche Richtung sich das letzte Rad in der Reihe dreht.

Die Aufgaben sind teilweise auch für Erwachsene recht anspruchsvoll, auch wenn man es ihnen auf den ersten Blick nicht ansieht. So werden die Kinder spielerisch (durch Ausmalen) an das Vierfarbproblem herangeführt, dessen Gültigkeitsbeweis erst vor Kurzem erbracht wurde. Das Siebenbrücken-Problem ist in einer Aufgabe (mit 6 Brücken) zu finden. Auch Aufgaben zur Kombinatorik gibt es. Wenn sich beispielsweise fünf Kinder am Computer abwechseln wollen, wie viele Möglichkeiten der Reihenfolge gibt es? Oder wie wär's mit Logik – setze die Reihe fort: KLAUS, LKAUS, LAKUS, LAUKS, ... oder TOR, SOS, ROT, QOU, ... Oder die Kinder sollen ganz oft würfeln, um Regeln der Probabilistik (Wahrscheinlichkeitsrechnung) zu entdecken.

Natürlich kommt auch das "reine" Rechnen nicht zu kurz. Was kommt zum Beispiel als nächstes? 20 => 27, 45 => 52, 82 => 89, 37 => ? Oder welche Zahl passt nicht bei 24, 40, 56, 36, 64, 48? Wie oft schlägt das Herz eines Igels im Winterschlaf pro Minute, wenn es in 10 Sekunden dreimal schlägt?

Einige Aufgaben ermuntern zum Ausprobieren und damit auch zur Zusammenarbeit: Mit einem Locher kann man mit einem Drücken 2 Stück Konfetti herstellen. Wenn man das Blatt einmal faltet, schafft man schon 4 Stück auf einmal. Wie sieht die Sache aus, wenn man das Blatt noch öfter faltet, bis zu 10 mal? Würden Sie glauben, dass nach 10-maligem Falten bereits über 1000 Seiten aufeinander liegen? Stimmt das überhaupt?

Fazit: Samuel Zwinglis Buch ist uneingeschränkt empfehlenswert. Es ist konzeptionell sehr gut durchdacht, perfekt umgesetzt und macht einfach nur Spaß!